Як Мушки: Криві Космічні
Руді Рукер
Факультет математики та комп'ютерних наук,
Сан - Хосе державного університету, Сан-Хосе, CA 95192
[email protected]
Copyright (C) Руді Рукер 1999
Опубліковано в Девід Вулф і Том Роджерс, EDS, Дані Puzzlers ". Свято для розуму, AKPeters, Натік, штат Массачусетс, 2002
Це цікаво спостерігати мух шум навколо. Вони простежити кривих у просторі, яке на диво тривимірним. Птахи летять уздовж просторових кривих теж, але їх наскоки повітряний далеко не так зігнуті і скручені, як і шляхи мух.
Є математичну мову для розмови про форму кривих у просторі? Звичайно, є. Математика є наука про форму і математики завжди вивчення природи нових форм поговорити.
Історично склалося так, просторові криві вперше були обговорені математик Алексіс Клод Клеро в статті під назвою "Recherche сюр-ле-Courbes Двомісний Courbure", опублікованій в 1731 році, коли Клеро було вісімнадцять років [1]. Клеро, як кажуть, був привабливим, цікавим людиною, він був популярною фігурою у вісімнадцятому столітті Париж суспільства.
Говорячи про «подвійної кривизни", Клеро означало, що шлях через тривимірний простір може деформувати себе в двох незалежних шляхів; він думав про кривої в плані його тінь проекції, скажімо, підлогу і стіни. В ході обговорення вигину плоскої, "тіньовий" криві, Клеро звернув на недавній роботі незрівнянний Ісаак Ньютон.
Математичну кривизну Ньютона заходи тенденція кривої, щоб зігнути від того, щоб пряма лінія. Чим більше вигинів кривої, тим більше абсолютна величина його кривизни. З точки зору руху точки по кривій, кривизна вважається позитивним, коли крива поворотах наліво, і негативним, коли крива поворотах вправо. Розмір кривизна визначається за принципом, що коло радіуса R повинна мати кривизну 1 / R. Чим менше радіус, тим більша кривизна. На малюнку 1 показані деякі приклади з дуг кіл.
Малюнок 1: кривизна по дугам кіл на площині.
Ми часто являють собою криву на площині рівняння з х і у координати. Більшість студентів обчислення пам'ятаю Коротше кажучи, неприємні зустрічі з формулою Ньютона для кривизни кривої, формула використовує дробові ступені і першу і другу похідні від у по х. На щастя, немає необхідності для нас, щоб котити з цього жорстокого, стародавнього ідола. Замість цього ми думаємо про кривизні як примітивне поняття і виразити кривою в більш природним чином.
Ідея полягає в тому, що замість того, щоб говорити про позиції щодо довільної осі х і осі у, ми думаємо про кривої як вигнутий номер рядка сам по собі. Крива відзначені в одиницях "довжина дуги", де довжина дуги це відстань вимірюється уздовж кривої, як якби крива була шматок мотузки, що ви могли б розтягнутися поряд з правителем.
У цьому контексті найбільш природний спосіб описати плоскої кривої є рівняння, яке дає кривизни безпосередньо в залежності від довжини дуги, рівняння виду каппа = F (S), де S позначає довжина дуги і каппа є зазвичай використовувати символ кривизни. На малюнку 2 показані два відомих криві площини, яка, виявляється, є прості вирази для кривизни як функція довжини дуги. Ланцюгової кривої форми бере на себе ланцюг (або міст кабелю) відсторонені від двох точок, в той час як логарифмічна спіраль є однією з форм дуже популярні серед наших друзів молюсків.
Малюнок 2: контактної та логарифмічної спіралі виражені природні рівнянь з кривизною каппа функцією довжини дуги с.
Відзначимо, що для спіралі, центром якої наближається с -1; якщо ви перестрибнути через аномальну центральної точки і натисніть на великі негативні значення з, ви виробляти дзеркальне зображення спіралі.
Було б непогано також думати просторових кривих в природних, координатно-безкоштовний спосіб --- звичайно, це шлях муха дзижчить навколо у центрі порожній кімнаті повинні думати. Глибокі математичні ідеї приходять важко, і це було сто двадцять років після того, як Клеро, перш ніж правильний спосіб представлення просторової кривої внутрішніми природними рівнянь, нарешті, виявили --- французьких математиків Джозеф Альфред Серре і Фредерік Жан Френе.
Ідея полягає в тому, що в кожній точці простору кривої можна визначити два числових величин називається кривизною і крутінням. Кривизни просторової кривої, по суті, такий же, як кривизна плоскої кривої: вона вимірює, наскільки швидко крива вигину в одну сторону. Кручення заходи тенденція кривої крутити з літака. Але що саме мається на увазі під "вигин в одну сторону," і "крутити з літака"? Який літак?
Ідея полягає в тому, що в кожній точці P просторової кривої можна визначити трьох взаємно перпендикулярних одиницю довжини вектора: дотичній T, нормальні N і бинормали B. T показує напрямок кривої рухається в, N лежить уздовж напрямок, в якому крива вигину в даний час, і B є вектор, перпендикулярний Т і N. (в термінах твори векторів хрест, хрест T N є B, N хрест B Т і В поперечного Т Н.) для просторових кривих ми зазвичай працюємо тільки з позитивними значеннями кривизни і мають N точці в напрямку, в якому крива насправді вигин. (У деяких аналітичних кривих ми розглянемо пізніше ми послабимо цю умову і дозволяє негативною кривизною простору криві).
Взяті разом, T, N та B складають так звані "рухомі тригранника просторової кривої". На малюнку 3 показано, частина просторової кривої (насправді спіралі) з декількома екземплярами рухомої тригранника. Так що це легше побачити, тривимірності зображення, ми малюємо криву у вигляді стрічки, як кручений сходах. Крива проходить вздовж одного краю сходах, і сходинки сходів відповідають напрямкам послідовних нормалі до кривої.
Малюнок 3: рухомі тригранника просторової кривої: T дотичній, N нормально, і B бинормали.
Щоб зрозуміти, як саме нормальних визначена, вона допомагає думати про поняття "стична" (поцілунки) площині. У кожній точці простору крива є деяка площина, яка краще всього відповідає кривою у цій точці. Дотичного вектора T лежить у цій площині, а напрямок, перпендикулярний до T в цій площині має нормальний Н. бинормали є вектором, перпендикулярним до дотичної площини.
З ідеєю переміщення тригранника на увазі, ми можемо тепер сказати, що кривизна вимірює швидкість, з якої дотична поворотів, і кручення вимірює швидкість, з якою бинормали виходить.
Зверніть увагу, що T, N та B завжди вибирається таким чином, щоб сформувати праву систему координат. Це означає, що якщо ви тримаєте з пальця, вказівний і середній палець правої руки, ці напрямки відповідають дотичній, нормалі і бинормали.
Малюнок 4: права, як тригранника.
Так само, як кола є плоска крива характеризується наявністю постійної кривизни спіралі просторової кривої характеризується наявністю постійної кривизною і постійної кручення. На малюнку 5 показано, як ознаки кривизни та кручення впливає на форми плоских і просторових кривих.
Малюнок 5: Як ознаки кривизни та кручення впливає на рух кривої.
Тепер давайте подивимося на деякі просторі формули, аналогічні формулі площині, заявивши, що кривизна окружності радіусом R = 1 / R. Подумайте про спіралі, як обтікання циліндра --- як виноградна лоза росте поста. Нехай R-радіус циліндра, і нехай H представляють свою чергу висоті: відстань по вертикалі займає спіралі, щоб зробити один повний оберт (і зробити формули краще, ми вимірюємо свою чергу висоти в одиницях 2 * пі, як великі в якості одиниць виміру ми R дюйма)
Розміри кривизни та кручення по спіралі, з радіусом повороту і висоти H задані два хороших рівнянь. Ми пишемо «тау» на кручення і, як і колись, "каппа" для кривизни:
kappa = R / (R^2 + H^2), і
tau = H / (R^2 + H^2).
Це цікава вправа в алгебрі, щоб спробувати перетворити ці два рівняння навколо і вирішити для R і H в термінах каппа-і тау. (Підказка: Почнемо з обчислювальної каппа ^ 2 + тау ^ 2 Коли ви закінчите, ваш новий рівнянь будуть дуже схожі на вихідних рівнянь.).
Деякі початкові речі помічати того, що якщо H набагато менше, ніж R, ви отримаєте кривизни приблизно дорівнює 1 / R, як і для кола, і тау дуже близько до 0. Якщо, з іншого боку, R знаходиться дуже близько до нуля, то кручення складає приблизно 1 / H, а кривизна близька до 0. Муха, яка робить бочка при переміщенні через майже прямий відстань H має кручення 1 / H. Чим швидше він може котитися, тим більше його кручення.
Менш очевидний факт, що якщо ми дивимося вниз на площині з вказівкою всіх можливих позитивних комбінації R і H, лінії постійної кривизни лежать на горизонтальній напівкіл, в той час як точки, що представляють постійну брехню кручення на вертикальні півкола. Кривизни та кручення комбінацій отримав від розтягування даної Slinky брехня по чверті кола з центром у початку координат. Мабуть, дві сім'ї з напівкіл розташовані перпендикулярно один до одного.
Малюнок 6: Лінії постійної кривизни та кручення комбінації і H.
Припустимо, у мене є спіраль, як пружина Slinky стали. Що відбувається з кривизною і крутінням, як я розтягнути один оборот без відкручування? Припустимо, що початковий радіус спіралі A. Враховуючи те, що фізична довжина одного повороту Slinky тримає такої ж довжини, можна показати, що, як ви розтягнути його, ^ 2 + H ^ 2 буде залишатися постійною на значення ^ 2, що відповідає окружності радіуса навколо початку RH площині. Як ви простягаєте Slinky циклу з певним починаючи радіусом 2, її і H значення буде рухатися вздовж пунктирної синьою лінією показано на малюнку 6. Малюнок 7 показує, що деякі з проміжних положень буде виглядати. Кривизна в даний час торгуються з для кручення.
Малюнок 7: Розтягнення Slinky виявляється кривизни в крученні.
Ось ще один алгебрі проблема: якщо ви знаєте, що ^ 2 + H ^ 2 = ^ 2, то, що ви можете сказати про суму каппа ^ 2 + тау ^ 2?
Один факт, що здається дивним, на перший є те, що кривизна і кручення спіралі залежить від розміру спіралі. Якщо ви обидва і H в п'ять разів більше, ви робите кручення і кривизни 1/10, як велика. Якщо ви зробите і HN разів більше, ви робите кривизни та кручення 1 / (2 * N), як великі.
Але це має сенс, якщо ви думаєте про муху, яка перемикає з невеликою спіралі у великій спіралі, вона дійсно змінюється так, що його політ, так що має сенс, що каппа-і тау має змінитися.
Малюнок 8: Зміна кривизни та кручення.
Це спостереження припускає простий спосіб виразити різницю між мухами і птахами --- мухи літають з набагато більш високою кривизною і крутінням, ніж у птахів. Комарі, як, втім, літати більш щільно зав'язаний шляху, і мають дуже велике значення кривизни та кручення.
Так само, як у літаку, просторової кривої може бути визначений в термінах природничих рівнянь, які дають кривизни та кручення в залежності від довжини дуги. Ці рівняння мають вигляд каппа = F (S) і тау = G (S). Форма і розмір просторової кривої однозначно визначається кривизна і кручення функцій. На малюнках 9 і 10 показані дві інтригуючі просторові криві задається простим вигином і крученням функцій.
Малюнок 9: Рокер, з природним рівнянь каппа = 1 і тау = синус (довжина дуги)
Малюнок 10: телефонний шнур, з природним рівнянь каппа = синус (довжина дуги) і тау = 1.
Ну, насправді я використовував каппа = 10 * синуса (довжина дуги) і тау = 3, щоб зробити фотографію краще. Відзначимо, що це просторова крива, де ми дозволяємо собі поставити в негативні значення для кривизни.
Існує не так багато літератури на цих "kappatau" криві, так що я дав свою імена цих двох: рокер, і телефонний шнур.
У свій час я думав, що рокер був правильний спосіб представлення шов на тенісний м'яч або шити на бейсбол, але корисним лист від великого математика Джона Хортона Конвея переконав мене, я був неправий. Конвей робить антропологічна гіпотеза, що кожен раз, коли математик відкриває кривої, що він або вона думає, що може бути істинною кривої бейсбол, крива інший.
Аналіз реальної кривої стібок бейсболу можна знайти на веб-опублікована стаття "Проектування Бейсбол Обкладинка Річард Томпсон з математичний факультет, Університет Арізони [2]. Виявляється, що крива бейсбол стібків на основі щось настільки прозаїчний, як запатентована 1860-х років пером і чорнилом креслення плоскої форми використовувалися, щоб вирізати шкіра для половини бейсбол, форма прибутку шляхом проб і помилок. Томпсон вважає, досить грубий закритою формою наближення цієї форми.
Це не тільки моя рокер не співпасти кривої бейсбол стібків, воно може бути доведено, що рокер кривої насправді не лежать на поверхні сфери (хоча це частково схоже, що це робить). Він не в змозі задовольняти наступним необхідною умовою для лежачих на поверхні сфери, де з позначає довжина дуги (див. [3]).
d/ds[(1/tau)*d/ds(1/kappa)] + tau*(1/kappa) = 0
(Для kappa = 1 і tau = sin(s), ліва сторона це sin(s), який не дорівнює 0).
Чисельні розрахунки показують, що довжина дуги з рокер має рівно в два рази довжина кола того ж радіусу. Це говорить про простий спосіб зробити рокера. Виріжте два однакових кільця (товсті круги) від деяких досить щільному папері (папки Маніли файл гарні), вирізати радіальні щілини в кільцях, стрічкою два з щілини краю разом, зігніть кілець двома різними способами (один, як годинникової стрілки спіралі та один, як спіраль проти годинникової стрілки) і стрічкою дві інші щілини краю разом, утворюючи суцільну смугу подвійної довжини. Тому що кільце не може зігнути вздовж її дотичної площині, кривизна форми фіксується по довжині дуги. Тому що половина групи, як годинниковою стрілкою спіраль і половини, як проти годинникової стрілки спіраль, коли форма розслабляє, крутіння імовірно варіюється в залежності від довжини дуги, як синус хвиля, яка йде між плюс один і мінус один. Кручення, здається, нуль в двох місцях, де щілини склеїти. Зверніть увагу, що я не довів, що мої емпіричні рокер паперу так само, як мої математичні рокером, це просто моє припущення.
Малюнок 11: Зробіть свій власний рокера.
Для того, щоб рокер, зробити (більше) копії Малюнок 11 на щільному папері.
Малюнок 12: Крива kappatau з різної кривизни як випадкове блукання.
Література:
Малюнок 1: кривизна по дугам кіл на площині.
Ми часто являють собою криву на площині рівняння з х і у координати. Більшість студентів обчислення пам'ятаю Коротше кажучи, неприємні зустрічі з формулою Ньютона для кривизни кривої, формула використовує дробові ступені і першу і другу похідні від у по х. На щастя, немає необхідності для нас, щоб котити з цього жорстокого, стародавнього ідола. Замість цього ми думаємо про кривизні як примітивне поняття і виразити кривою в більш природним чином.
Ідея полягає в тому, що замість того, щоб говорити про позиції щодо довільної осі х і осі у, ми думаємо про кривої як вигнутий номер рядка сам по собі. Крива відзначені в одиницях "довжина дуги", де довжина дуги це відстань вимірюється уздовж кривої, як якби крива була шматок мотузки, що ви могли б розтягнутися поряд з правителем.
У цьому контексті найбільш природний спосіб описати плоскої кривої є рівняння, яке дає кривизни безпосередньо в залежності від довжини дуги, рівняння виду каппа = F (S), де S позначає довжина дуги і каппа є зазвичай використовувати символ кривизни. На малюнку 2 показані два відомих криві площини, яка, виявляється, є прості вирази для кривизни як функція довжини дуги. Ланцюгової кривої форми бере на себе ланцюг (або міст кабелю) відсторонені від двох точок, в той час як логарифмічна спіраль є однією з форм дуже популярні серед наших друзів молюсків.
Малюнок 2: контактної та логарифмічної спіралі виражені природні рівнянь з кривизною каппа функцією довжини дуги с.
Відзначимо, що для спіралі, центром якої наближається с -1; якщо ви перестрибнути через аномальну центральної точки і натисніть на великі негативні значення з, ви виробляти дзеркальне зображення спіралі.
Було б непогано також думати просторових кривих в природних, координатно-безкоштовний спосіб --- звичайно, це шлях муха дзижчить навколо у центрі порожній кімнаті повинні думати. Глибокі математичні ідеї приходять важко, і це було сто двадцять років після того, як Клеро, перш ніж правильний спосіб представлення просторової кривої внутрішніми природними рівнянь, нарешті, виявили --- французьких математиків Джозеф Альфред Серре і Фредерік Жан Френе.
Ідея полягає в тому, що в кожній точці простору кривої можна визначити два числових величин називається кривизною і крутінням. Кривизни просторової кривої, по суті, такий же, як кривизна плоскої кривої: вона вимірює, наскільки швидко крива вигину в одну сторону. Кручення заходи тенденція кривої крутити з літака. Але що саме мається на увазі під "вигин в одну сторону," і "крутити з літака"? Який літак?
Ідея полягає в тому, що в кожній точці P просторової кривої можна визначити трьох взаємно перпендикулярних одиницю довжини вектора: дотичній T, нормальні N і бинормали B. T показує напрямок кривої рухається в, N лежить уздовж напрямок, в якому крива вигину в даний час, і B є вектор, перпендикулярний Т і N. (в термінах твори векторів хрест, хрест T N є B, N хрест B Т і В поперечного Т Н.) для просторових кривих ми зазвичай працюємо тільки з позитивними значеннями кривизни і мають N точці в напрямку, в якому крива насправді вигин. (У деяких аналітичних кривих ми розглянемо пізніше ми послабимо цю умову і дозволяє негативною кривизною простору криві).
Взяті разом, T, N та B складають так звані "рухомі тригранника просторової кривої". На малюнку 3 показано, частина просторової кривої (насправді спіралі) з декількома екземплярами рухомої тригранника. Так що це легше побачити, тривимірності зображення, ми малюємо криву у вигляді стрічки, як кручений сходах. Крива проходить вздовж одного краю сходах, і сходинки сходів відповідають напрямкам послідовних нормалі до кривої.
Малюнок 3: рухомі тригранника просторової кривої: T дотичній, N нормально, і B бинормали.
Щоб зрозуміти, як саме нормальних визначена, вона допомагає думати про поняття "стична" (поцілунки) площині. У кожній точці простору крива є деяка площина, яка краще всього відповідає кривою у цій точці. Дотичного вектора T лежить у цій площині, а напрямок, перпендикулярний до T в цій площині має нормальний Н. бинормали є вектором, перпендикулярним до дотичної площини.
З ідеєю переміщення тригранника на увазі, ми можемо тепер сказати, що кривизна вимірює швидкість, з якої дотична поворотів, і кручення вимірює швидкість, з якою бинормали виходить.
Зверніть увагу, що T, N та B завжди вибирається таким чином, щоб сформувати праву систему координат. Це означає, що якщо ви тримаєте з пальця, вказівний і середній палець правої руки, ці напрямки відповідають дотичній, нормалі і бинормали.
Малюнок 4: права, як тригранника.
Так само, як кола є плоска крива характеризується наявністю постійної кривизни спіралі просторової кривої характеризується наявністю постійної кривизною і постійної кручення. На малюнку 5 показано, як ознаки кривизни та кручення впливає на форми плоских і просторових кривих.
Малюнок 5: Як ознаки кривизни та кручення впливає на рух кривої.
Тепер давайте подивимося на деякі просторі формули, аналогічні формулі площині, заявивши, що кривизна окружності радіусом R = 1 / R. Подумайте про спіралі, як обтікання циліндра --- як виноградна лоза росте поста. Нехай R-радіус циліндра, і нехай H представляють свою чергу висоті: відстань по вертикалі займає спіралі, щоб зробити один повний оберт (і зробити формули краще, ми вимірюємо свою чергу висоти в одиницях 2 * пі, як великі в якості одиниць виміру ми R дюйма)
Розміри кривизни та кручення по спіралі, з радіусом повороту і висоти H задані два хороших рівнянь. Ми пишемо «тау» на кручення і, як і колись, "каппа" для кривизни:
kappa = R / (R^2 + H^2), і
tau = H / (R^2 + H^2).
Це цікава вправа в алгебрі, щоб спробувати перетворити ці два рівняння навколо і вирішити для R і H в термінах каппа-і тау. (Підказка: Почнемо з обчислювальної каппа ^ 2 + тау ^ 2 Коли ви закінчите, ваш новий рівнянь будуть дуже схожі на вихідних рівнянь.).
Деякі початкові речі помічати того, що якщо H набагато менше, ніж R, ви отримаєте кривизни приблизно дорівнює 1 / R, як і для кола, і тау дуже близько до 0. Якщо, з іншого боку, R знаходиться дуже близько до нуля, то кручення складає приблизно 1 / H, а кривизна близька до 0. Муха, яка робить бочка при переміщенні через майже прямий відстань H має кручення 1 / H. Чим швидше він може котитися, тим більше його кручення.
Менш очевидний факт, що якщо ми дивимося вниз на площині з вказівкою всіх можливих позитивних комбінації R і H, лінії постійної кривизни лежать на горизонтальній напівкіл, в той час як точки, що представляють постійну брехню кручення на вертикальні півкола. Кривизни та кручення комбінацій отримав від розтягування даної Slinky брехня по чверті кола з центром у початку координат. Мабуть, дві сім'ї з напівкіл розташовані перпендикулярно один до одного.
Малюнок 6: Лінії постійної кривизни та кручення комбінації і H.
Припустимо, у мене є спіраль, як пружина Slinky стали. Що відбувається з кривизною і крутінням, як я розтягнути один оборот без відкручування? Припустимо, що початковий радіус спіралі A. Враховуючи те, що фізична довжина одного повороту Slinky тримає такої ж довжини, можна показати, що, як ви розтягнути його, ^ 2 + H ^ 2 буде залишатися постійною на значення ^ 2, що відповідає окружності радіуса навколо початку RH площині. Як ви простягаєте Slinky циклу з певним починаючи радіусом 2, її і H значення буде рухатися вздовж пунктирної синьою лінією показано на малюнку 6. Малюнок 7 показує, що деякі з проміжних положень буде виглядати. Кривизна в даний час торгуються з для кручення.
Малюнок 7: Розтягнення Slinky виявляється кривизни в крученні.
Ось ще один алгебрі проблема: якщо ви знаєте, що ^ 2 + H ^ 2 = ^ 2, то, що ви можете сказати про суму каппа ^ 2 + тау ^ 2?
Один факт, що здається дивним, на перший є те, що кривизна і кручення спіралі залежить від розміру спіралі. Якщо ви обидва і H в п'ять разів більше, ви робите кручення і кривизни 1/10, як велика. Якщо ви зробите і HN разів більше, ви робите кривизни та кручення 1 / (2 * N), як великі.
Але це має сенс, якщо ви думаєте про муху, яка перемикає з невеликою спіралі у великій спіралі, вона дійсно змінюється так, що його політ, так що має сенс, що каппа-і тау має змінитися.
Малюнок 8: Зміна кривизни та кручення.
Це спостереження припускає простий спосіб виразити різницю між мухами і птахами --- мухи літають з набагато більш високою кривизною і крутінням, ніж у птахів. Комарі, як, втім, літати більш щільно зав'язаний шляху, і мають дуже велике значення кривизни та кручення.
Так само, як у літаку, просторової кривої може бути визначений в термінах природничих рівнянь, які дають кривизни та кручення в залежності від довжини дуги. Ці рівняння мають вигляд каппа = F (S) і тау = G (S). Форма і розмір просторової кривої однозначно визначається кривизна і кручення функцій. На малюнках 9 і 10 показані дві інтригуючі просторові криві задається простим вигином і крученням функцій.
Малюнок 9: Рокер, з природним рівнянь каппа = 1 і тау = синус (довжина дуги)
Малюнок 10: телефонний шнур, з природним рівнянь каппа = синус (довжина дуги) і тау = 1.
Ну, насправді я використовував каппа = 10 * синуса (довжина дуги) і тау = 3, щоб зробити фотографію краще. Відзначимо, що це просторова крива, де ми дозволяємо собі поставити в негативні значення для кривизни.
Існує не так багато літератури на цих "kappatau" криві, так що я дав свою імена цих двох: рокер, і телефонний шнур.
У свій час я думав, що рокер був правильний спосіб представлення шов на тенісний м'яч або шити на бейсбол, але корисним лист від великого математика Джона Хортона Конвея переконав мене, я був неправий. Конвей робить антропологічна гіпотеза, що кожен раз, коли математик відкриває кривої, що він або вона думає, що може бути істинною кривої бейсбол, крива інший.
Аналіз реальної кривої стібок бейсболу можна знайти на веб-опублікована стаття "Проектування Бейсбол Обкладинка Річард Томпсон з математичний факультет, Університет Арізони [2]. Виявляється, що крива бейсбол стібків на основі щось настільки прозаїчний, як запатентована 1860-х років пером і чорнилом креслення плоскої форми використовувалися, щоб вирізати шкіра для половини бейсбол, форма прибутку шляхом проб і помилок. Томпсон вважає, досить грубий закритою формою наближення цієї форми.
Це не тільки моя рокер не співпасти кривої бейсбол стібків, воно може бути доведено, що рокер кривої насправді не лежать на поверхні сфери (хоча це частково схоже, що це робить). Він не в змозі задовольняти наступним необхідною умовою для лежачих на поверхні сфери, де з позначає довжина дуги (див. [3]).
d/ds[(1/tau)*d/ds(1/kappa)] + tau*(1/kappa) = 0
(Для kappa = 1 і tau = sin(s), ліва сторона це sin(s), який не дорівнює 0).
Чисельні розрахунки показують, що довжина дуги з рокер має рівно в два рази довжина кола того ж радіусу. Це говорить про простий спосіб зробити рокера. Виріжте два однакових кільця (товсті круги) від деяких досить щільному папері (папки Маніли файл гарні), вирізати радіальні щілини в кільцях, стрічкою два з щілини краю разом, зігніть кілець двома різними способами (один, як годинникової стрілки спіралі та один, як спіраль проти годинникової стрілки) і стрічкою дві інші щілини краю разом, утворюючи суцільну смугу подвійної довжини. Тому що кільце не може зігнути вздовж її дотичної площині, кривизна форми фіксується по довжині дуги. Тому що половина групи, як годинниковою стрілкою спіраль і половини, як проти годинникової стрілки спіраль, коли форма розслабляє, крутіння імовірно варіюється в залежності від довжини дуги, як синус хвиля, яка йде між плюс один і мінус один. Кручення, здається, нуль в двох місцях, де щілини склеїти. Зверніть увагу, що я не довів, що мої емпіричні рокер паперу так само, як мої математичні рокером, це просто моє припущення.
Малюнок 11: Зробіть свій власний рокера.
Для того, щоб рокер, зробити (більше) копії Малюнок 11 на щільному папері.
- Розріжте вздовж усіх суцільними лініями.
- Стрічка краю до краю B * з буквами на одній стороні.
- Зігніть два кільця в протилежному сенсі.
- Стрічка краю до краю * B з буквами на одній стороні.
Малюнок 12: Крива kappatau з різної кривизни як випадкове блукання.
Література:
- Morris Kline, Mathematical Thought From Ancient To Modern Times, Oxford U. Press, New York, 1972, p. 557.
- Richard Thompson, "Designing a Baseball Cover," at http://www.mathsoft.com/asolve/baseball/baseball.html, 1996.
- Yung-Chow Wong, "On An Explicit Characterization of Spherical Curves," Proceedings of the American Mathematical Society 34 (July, 1972), pp. 239-242.
- Dirk J. Struik, Lectures on Classical Differential Geometry, Addison-Wesley, Reading, Mass, 1961.
- Rudy Rucker, "Kappa Tau Curves Download Page," at http://www.cs.sjsu.edu/faculty/rucker/kappatau.htm, first posted 1997.
Technical support by @ReuN